گام به گام ریاضی نهم | فصل اول - درس 1: معرفی مجموعه

در شکل زیر شمارنده‌های طبیعی عدد ٦٠ را نوشته‌ایم و بین آنها شمارنده‌های اوّل را مشخص کرده‌ایم. شما هم شمارنده‌های ٦٠ را که اوّل نیستند در یک منحنی بسته قرار دهید.

اگر شمارنده‌های طبیعی و اولِ عدد 60 یعنی 2، 3 و 5 را داخل دو آکلاد قرار دهیم و آن را با حروفی چون A یا B یا ... نام‌گذاری کنیم و بنویسیم $A=\{2,3,5\}$ ؛ در این صورت یک مجموعه تشکیل داده‌ایم و به هر یک از عددهای 2، 3 و 5 یک عضو مجموعه A می‌گوییم؛ پس مجموعۀ A دارای 3 عضو است.
* شما شمارنده‌های مرکب عدد ٦٠ را به صورت یک مجموعه بنویسید و آن را B بنامید.

\[B=\left\{ 4,6,10,12,15,20,30,60 \right\}\]

* مجموعۀ شامل شمارنده‌های عدد ٦٠ که نه اوّل باشد و نه مرکب، چند عضو دارد؟ این مجموعه را نیز C بنامید و آن را نمایش دهید.

یک عضو دارد. $C=\left\{ 1 \right\}$

* مجموعۀ D شامل همۀ شمارنده‌های دو رقمی 60 را تشکیل دهید؛ این مجموعه چند عضو دارد؟

6 عضو دارد. $D=\left\{ 10,12,15,20,30,60 \right\}$

از رضا و احمد خواسته شد تا مجموعۀ شامل 3 شمارندۀ زوج عدد 60 را تشکیل دهند. احمد نوشت: $\left\{ 4,6,10 \right\}$ و رضا نوشت: $\left\{ 6,10,12 \right\}$ به نظر شما چرا جواب‌های آنها با هم فرق دارد؟

چون همه عضوها مثل هم نیست.

نتیجه: عبارت‌هایی شبیه این عبارت، که مشخص کنندۀ یک مجموعۀ معین و یکتا نباشد، مجموعه‌ای را مشخص نمی‌کند.

1- کدام یک از عبارت‌های زیر مشخص کننده یک مجموعه است؟ مجموعۀ مورد نظر را نمایش دهید.

الف) عددهای طبیعی و یک رقمی ب) چهار شاعر ایرانی ج) دو عدد اوّلِ کوچک تر از 12

عبارت الف - $A=\left\{ 1,2,3,...,9 \right \}$

2- با توجه به شرط متمایز بودن عضوهای یک مجموعه، جاهای خالی را پرکنید:

الف) به جای $A=\left\{ 1,2,1,4,5 \right\}$ باید بنویسیم: $A=\left\{ 1,2,4,5 \right \}$

ب) به دلیل تکراری بودنِ عدد 5 در $B=\left\{ 5,6,5,7 \right\}$ آن را به صورت $B=\left\{ 5,6,7 \right\}$ می‌نویسیم.

1- با توجه به نمودار وِن، که برای دو مجموعۀ A و B رسم شده است، مجموعه های A و B را با عضوهایشان مشخص کنید.

$A=\left\{ a,b,c,s,f,k \right\}$
$B=\left\{ s,f,k,m,n \right\}$

2- دو مجموعۀ $A=\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}$ و $B=\left\{ 5,6,7,8 \right\}$ را در نظر بگیرید:
دو مجموعه را با یک نمودار وِن نمایش دهید. کدام عددها هم در منحنی بستۀ مربوط به A و هم در منحنی بسته B وجود دارد؟

3- مجموعۀ عددهای دو رقمی و زوجِ اوّل را بنویسید و آن را E بنامید. این مجموعه چند عضو دارد؟

این مجموعه عضوی ندارد. $E=\left\{ {} \right \}$

4- کدام یک از عبارت‌های زیر، مجموعۀ تهی را مشخص می‌کند؟

الف) عددهای طبیعی بین ٥ و ٦ $A= \left\{ {} \right\}$
ب) عددهای صحیح بین ١- و ١ $B=\left\{ 0 \right\}$
ج) عددهای اوّل و زوج $C=\left\{ 2 \right\}$
د) عددهای طبیعی یک رقمی و مضرب ٣ که اوّل باشد. $D=\left\{ 3 \right\}$

1- سه عبارت بنویسید که هرکدام نشان دهندۀ مجموعۀ تهی باشد؛ سپس عبارت‌های خود را با نوشته‌های هم کلاسی‌های خود مقایسه کنید.

1) اعداد صحیح بین 0 و 1

2) اعداد زوج اول بزرگتر از 2

3) اعداد طبیعی بزرگتر از 1 که نه اول باشد و نه مرکب

2- سه عبارت بنویسید که هرکدام مشخص کنندۀ مجموعه‌ای فقط با یک عضو باشد.

1) اعداد حسابی کوچکتر از 1

2) اعداد اول بین 100 و 90

3) اعداد اول زوج

3- عبارت‌هایی که مجموعه‌ای را مشخص می‌کند با علامت × و مجموعه نبودن بقیه را با ذکر دلیل مشخص کنید.

الف) چهار عدد فرد متوالی

ب) سه عدد طبیعی زوج متوالی با شروع از ٢ x

ج) عددهای اوّلِ کوچک تر از ٢٠ x

د) سه شهر ایران

هـ) شمارنده های عدد 24 x

و) 5 عدد بزرگ

ز) عددهای طبیعی بین ٢ و ٣ x

4- مانند نمونه کامل کنید:

1) مجموعۀ حروف الفبای فارسی { ی,... ,پ, ب, الف}=A

2) $\left\{ 3,4,5,6,7,8,9 \right\}$ مجموعه عددهای طبیعی بین 2 و 10:G

3) مجموعۀ عددهای صحیح بین ٢- و ٣- $E=\left\{ {} \right\}$

4) مجموعهٔ عددهای طبیعی و مضرب 4 $B=\left\{ 4,8,12,... \right\}$

5) مجموعهٔ عددهای اوّل و یک رقمی $H=\left\{ 2,3,5,7 \right\}$

6) مجموعهٔ عددهای اوّل و مضرب 5 $D=\left\{ 5 \right\}$

7) $\left\{ 3,a,b \right\}$ مجموعۀ حروف a و b و عدد 3: C

8) $\left\{ 6,4,2,8 \right\}$ $F=\left\{ 2,4,6,8 \right\}$

5- کدام یک از عبارت‌های زیر مشخص کننده یک مجموعه است؟ با نمودار وِن نشان دهید:

الف) عددهای صحیح مثبت و کمتر از ١٠

$\left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right \}$

ب) شمارنده های اوّلِ عدد ١٩

$\left\{ 19 \right\}$

ج) عددهایی که شش وجه یک تاس معمولی مشخص می‌کند.

$\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}$

د) جواب های معادلۀ 1=8+2x

$\left\{ -\frac{7}{2} \right\}$

ه) چهار میوه خوشمزه

مجموعه نیست.

و) عددهای صحیح منفی و بزرگ تر از 8-

$\left\{ -7,-6,-5,-4,-3,-2,-1 \right \}$

1- متناظر با هر عبارت، یک مجموعه و متناظر با هر مجموعه، یک عبارت بنویسید و تعداد عضوهای هر مجموعه را تعیین کنید:

الف) $A=\left\{ 1,8,27,64,125 \right\}$

ب) $C=\left\{ 10 \right\}$

ج) عددهای طبیعیِ مضرب 5 و کوچک تر از ١٠٠٠

د) عددهای طبیعی بزرگ تر از ٤ و کوچک تر از 5

ه) عددهای صحیح منفی که بین ٤ و ٧ قرار دارد.

و) عددهای اوّل دورقمی که مضرب ٧ باشد.

2- جاهای خالی را طوری کامل کنید تا عبارت حاصل، درست باشد.

الف) عبارت «5 عدد طبیعی که بین 1 و 20 قرار داشته باشد» یک مجموعه را مشخص نمی‌کند

ب) مجموعه $\left\{ 2,3,4,...,9 \right\}$ ؛ داریم: 5 عضو A است یا با نماد ریاضی، $5\in A$ و 12 عضو A نیست یا با نماد ریاضی، $12\notin A $

3- سه مجموعۀ متفاوت بنویسید که عدد 2 عضو آن باشد.

$A=\left\{ 2,3,5 \right\}$

$B=\left\{ 2 \right\}$

$C=\left\{ 10,9,8,...,1 \right\}$